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2005年9月29日 (木)

同様に確からしい

050929昨日の高2の授業での話である。
一般に,試行(実験や観測)Sを行うとき,起こりうるすべての場合がn通り考えられ,どの場合の起こる可能性も同程度に期待できる(=equally probable。これは「同様に確からしい」と訳される)ものとする。そのうち,特定の事象(結果のこと。たとえば,「さいころを投げる」という試行の場合,「1の目が出る」,「2の目がでる」,あるいは,「3以下の目が出る」などを事象という。)Aが起こる場合が,このn通りのうちa通りあるとき,試行Sを行うときの,事象Aの起こる確率はa÷nであると定義する。
この定義を紹介した後,次のような問題を出した。

図のような道に沿ってPからQまで,遠回りせずに(つまり上か右にしか進まずに)行くとき,Tを通る確率を求めたい。ただし,右にも上にも進むことのできる点でどちらに進むかは半々(2分の1の確率)であるとする。

まず,次のような解法を示した。
PからQまで遠回りせずに行く行き方は,たとえば,Pを出発し,まず右に1区画進み,次も右に1区画進み,次も右に1区画進む。こうすると,右下角に到達するので,あとは上へ5区画進むしかない。これを(右右右上上上上上)と書くことにすると,(右右上右上上上上),(右右上上右上上上),・・・,(上上上上上右右右)など,56通りの行き方がある。この56通りの求め方は,(○○○○○○○○)の8個の○もうち,どこか3カ所に「右」を入れる方法が何通りあるかを考えれば良いので,を計算し,56(通り)とわかる。あるいは,「同種のものを含む順列」の公式を知っていれば,8個中,5個の「右」と3個の「上」を並べる順列を計算すれば良いから,8!/(5!3!)を計算しても56は求まる。
次にTを通る行き方が何通りあるかを計算してみた。PからTまで行く行き方は,先ほどと同様に考え,「右」1つと「上」2つの順列だから,1,あるいは3!/(2!1!)より3通り。そのそれぞれの行き方に対し,TからQまで行く行き方は,「右」2つと「上」3つの順列だから,,あるいは5!/(3!2!)より10通り。したがって,Pを出発しTを通ってQに行く行き方は,3×10=30(通り)。したがって,PからQまで遠回りせずに行くとき,Tを通る確率は,(Tを通る行き方)÷(すべての行き方)=30÷56=0.53・・・。

次に見方を変えて,次のような解法を示した。
右か上にしか行かないのであるから,Tまで到達すれば,確率1でQに進む。したがって,Pを出発してTに到着する確率を求めればよい。それは,①「Pから(右上上)と進む確率」と,②「Pから(上右上)と進む確率」と,③「Pから(上上右)と進む確率」の和である。そして,PからTに行く間のすべての点(T字路と十字路)で,「上」へ行くか「右」へ行くか半々の確率だから,①,②,③とも確率はすべて(1/2)×(1/2)×(1/2)=1/8。よって,Pを出発してTに到着する確率は(1/8)×3=3/8=0.375。

さて,どちらが正しいか?
まず,考察・議論する前に,直感でどっちが正しいと思うか聞いてみたところ,6:1くらいで前者,つまり,全道順を求め,そのうちのTを通る道順を求め,割り算するのが正解と考える者が多数派だった。後者を正解としない理由で多かったのは,「Tに到着した後のことを考えていない」ということであった。

実は正解は後者である。その理由は生徒には,考えてもらうため,まだ発表していないが,ここで密かに教えてしまおう。

前者の解答では,全道順56通りの,どのルートを通る可能性も同程度に期待できる(つまり「同様に確からしい」)と扱っている。そのため,「同様に確からしい」事象を扱う場合の確率の定義通り,30÷56を計算し,確率を求めた。しかし,よく考えてみれば,どのルートを通る可能性も「同様に確からしい」のではない。たとえば,(右右右上上上上上)と行く行き方は,スタート地点のPと,その右隣と,またその次の右隣のT字路では,「右」に行くか「上」に行くか半々(2分の1の確率)であるが,それ以降は「上」に進むという選択肢しかない。つまり確率1で「上」に進む。したがって,この(右右右上上上上上)と進む確率は(1/2)×(1/2)×(1/2)×1×1×1×1×1=1/8である。それに対して,(上上上上上右右右)と行く確率は,同様に考えれば(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×(1/2)×1×1×1=1/32である。このように,どの道順を通るかは「同様に確からしくはない」のだ。ゆえに,前者の解答は間違えている。

この問題の場合,「右」に行くか「上」に行くかを選べる点を通過する際,どちらに行く場合も同程度に期待できる。「同様に確からしい」のはこのことだけだ。

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コメント

scissorsもやもやが 取れました。

投稿: | 2011年1月16日 (日) 08時03分

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